Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

случайные события. вероятность события :: равносильные события :: действия над событиями :: теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий) ::

Теорема сложения вероятностей.
(для попарно несовместимых событий)

  Пусть A, B, C - попарно несовместимые события и mA , mB , mC - соответственно числа их появлении в n испытаниях. Тогда событие A + B + C появится mA + mB + mC раз при этих n испытаниях и, следовательно, частость события A + B + C будет равна сумме частостей событии A, B, C, так как
Поэтому и для средних значений этих частостей (когда производится несколько серий испытаний), или, другими словами, для вероятностей, следует положить
P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C )
т. е. имеет место
  Теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий). Вероятность того, что произойдет одно из попарно несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий.
  Следует особо подчеркнуть, что здесь речь идет о попарно несовместимых событиях. В противном случае данная формула не будет справедлива, так как при совместимости событий нельзя утверждать, что событие A + B + C появится mA + mB + mC  раз.
  Пример. Игральная кость брошена 20 раз, и оказалось, что
  1 очко выпало 3 раза, ;
  2 очка выпали 4 раза, ;
  3 очка выпали 3 раза, ;
  4 очка выпали 5 раз, ;
  5 очков выпали 2 раза, ;
  6 очков выпали 3 раза,
Событие B, состоящее в выпадении нечетного числа очков, появилось mB = 3 + 3 + 2 = 8 раз. Событие C, состоящее в выпадении не более 3 очков, появилось mC = 3 + 4 + 3 = 10 раз. Событие B + C состоит в выпадении 1, 2, 3 или 5 очков, и оно появилось при этих 20 испытаниях mB+C = 3 + 4 + 3 + 2 = 12 раз. Как мы видим, mB+C = 12 ? mB + mC = 18. По существу, в сумме mB + mC лишний раз сосчитаны случаи выпадения 1 очка и 3 очков, когда осуществляются как событие B, так и событие C.
  Легко видеть, что аналогичная формула справедлива и для любого числа попарно несовместимых событий A1 , A2 , ... , Am:
P ( A1 + A2 + ... + Am ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( Am )
   Так как P ( D ) = 1, то из предидущего равенства для полной системы событий получаем
P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ) = 1
(события A1 , A2 , ... , An по определению попарно несовместимы),
В частности, для противоположных событий имеем
P ( A ) + P ( ) = 1
случайные события. вероятность события :: равносильные события :: действия над событиями :: теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий) ::

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РЕКЛАМА