Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

РЯДЫ

Определение числового ряда. Сходимость ряда :: Гармонический ряд :: Необходимый признак сходимости числового ряда :: Признак Даламбера ::

Признак Даламбера (продолжение)

  Теорема 2. Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предидущему un при nR? , т.е.
Тогда,
  если l < 1, то ряд l сходится,
  если l > 1, то ряд l расходится,
  Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

  Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство
означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства
где e   - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.
  Рассмотрим три случая:
  а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e   настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
l + e   < 1
и, начиная с некоторого n , неравенство
где q = l + e , в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;
  б) пусть l > 1 . Выбираем e   так, чтобы
e  = l - 1 > 0
  Тогда l - e  = 1 и
т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)
  в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.
  В самом деле, для гармонического ряда
который расходится, имеем,
  С другой стороны, ряд
сходится, а для него также
потому что
  Таким образом, доказано, что если
то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.
  Теорема 2 выражает признак Даламбера.

Определение числового ряда. Сходимость ряда :: Гармонический ряд :: Необходимый признак сходимости числового ряда :: Признак Даламбера ::

РЯДЫ

РЕКЛАМА