Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

РЯДЫ

Определение числового ряда. Сходимость ряда :: Гармонический ряд :: Необходимый признак сходимости числового ряда :: Признак Даламбера ::

Признак Даламбера

  Пусть дан ряд
u1+u2+u3+...+un+... ,
(1)
с положительными членами.
  Относительно этого ряда имеют место две следующие теоремы Даламбера.
  Теорема 1. Если отношение каждого последующего члена ряда (1) к предидущему члену меньше фиксированного числа q<1 (или равно q), то ряд (1) сходится; если это отношение больше 1 (или равно 1), то ряд (1) расходится.
  Доказательство. 1. Пусть
  Тогда имеют место неравенства
(2)
Отсюда
(3)
или
(4)
  Складывая почленно неравенства (4), получим неравенство
(5)
Но
а поэтому
  По условию теоремы, q<1 , а поэтому
Следовательно,
при любом n. Прибавляя u1 к обеим частям последнего неравенства, получим
или
  Так как все члены ряда (1) положительны и, следовательно, Sn с возрастанием n возрастает, оставаясь меньше
то существует предел Sn и
  Таким образом ряд (1) сходится.
  2. Теперь пусть
Это означает, что с возрастанием n общий член un ряда (1) не убывает, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости ряда, а поэтому ряд (1) расходится.

Дальше >>
  
Определение числового ряда. Сходимость ряда :: Гармонический ряд :: Необходимый признак сходимости числового ряда :: Признак Даламбера ::

РЯДЫ

РЕКЛАМА