Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

РЯДЫ

Определение числового ряда. Сходимость ряда :: Гармонический ряд :: Необходимый признак сходимости числового ряда :: Признак Даламбера ::

Определение числового ряда.
Сходимость ряда.

  Бесконечным числовым рядом называется выражение
u1+u2+...+un+... ,
(1)
содержащее неограниченное число членов, где
u1 , u2 , u3 , ... , un , ...
- бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.
  Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.
  Например, если un = 2*n+1, то ряд имеет вид:
3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1

  Если un = (-1)n, то ряд имеет вид:
-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)n
  Сумма первых n членов ряда обозначается символом Sn и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,
Sn = u1 + u2 + ... + u n
или, короче,
  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при nR? стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.
  Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут
S = u1 + u2 + ... + u n + ...
  Если же при nR? сумма Sn не имеет предела или
то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.
   Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии
a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ...,
(2)
где
-1 < q < 1
  Действительно, для этого ряда
Sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 =
  При nR?   qnR0 (так как | q |<1), поэтому
и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать
= a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ... .
  Если q = 1, то ряд (2) имеет вид
a + a + a + a + ... + a + ... .
(3)
  Сумма Sn первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся.
  Если q = -1, то ряд (2) примет вид
a - a + a - a + a - a +... +(-1)n-1 a + ... .
(4)
  Ясно, что для этого ряда
S2n=0 ,   S2n-1=a.
т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a.
  Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как S2n так и S2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S.
  Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся.
Определение числового ряда. Сходимость ряда :: Гармонический ряд :: Необходимый признак сходимости числового ряда :: Признак Даламбера ::

РЯДЫ

РЕКЛАМА