Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

ПРЕДЕЛЫ

предел последовательности :: бесконечно малая и бесконечно большая величины :: геометрическая интерпретация предела переменной 
::

Предел последовательности

   Пусть переменная величина xn принимает бесконечную последовательность значений
x1 , x2 , ..., xn , ...,       (1)
причем известен закон изменения переменной xn , т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение xn.    Таким образом предполагается, что переменная xn является функцией от n:
xn = f(n)
   Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины xn , пробегающей последовательность x1 , x2 , ..., xn , ... ..
   Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x1 , x2 , ..., xn , ... . или пределом переменной xn , если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N), что все значения переменной xn, начиная с xN, отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:
xn - a |<e       (2)
при всех n ? N, или, что то же самое,
       (3)
   Здесь n означает, что n неограниченно возрастает. Часто говорят также: xn стремится к a и пишут xnRa.
   Таким образом, переменная xn имеет предел a, если абсолютная величина разности между xn и a в процессе изменения переменной xn, пробегающей последовательность x1 , x2 , ..., xn , ..., становится (в момент, когда n = N) и в дальнейшем остается (т.е. для всех n > N) меньше заданного положительного числа e.
   Ясно, что чем меньшим будет выбрано e, тем большим, вообще говоря, будет число N, такое, что при n ? N выполняется неравенство (2), но для того, чтобы число a было пределом переменной xn, необходимо, чтобы такое число N нашлось, как бы ни мало было число e.
   Отнюдь не всякая переменная xn имеет предел. Так, переменная xn, принимающая последовательно значения
1, 0, 1, 0, ..., 1, 0, ...,
предела не имеет, ибо в данном случае для любого постоянного числа
   В самом деле, пусть, например . Тогда не существует такого номера N, что для n ? N всегда выполнялось бы равенсьво
   Теорема. Переменная xn может иметь только один предел.
   Доказательство. Действительно, если допустить, что
то, беря e = a - b |, имеем
xn - a | <  | a - b | для n ? N1,
xn - b | <  | a - b | для n ? N2,
   Если взять большее из чисел N1 и N2 и обозначить его через N, то оба неравенства выполняются при n ? N. Складывая их, получаем
xn - a | + | xn - b | < a - b |;
с другой стороны, используя свойства абсолютных величин, имеем
a - b | = | a - xn + xn - b | ? | a - xn | + | xn - b | =
= | xn - a | + | xn - b |
   Отсюда получается
a - b | < a - b |,
что невозможно, если a ? b. Таким образом, допущение, что последовательность может иметь различные пределы, привело к противоречию, и утверждение теоремы доказано способом от противного.
предел последовательности :: бесконечно малая и бесконечно большая величины :: геометрическая интерпретация предела переменной ::

ПРЕДЕЛЫ

РЕКЛАМА