Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

Извлечение корня из комплексного числа

  Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.
  Таким образом, равенство:
равносильно равенству
rn(cos ny + i sin ny) = r (cos j + i sin j)
  Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.
rn = r,     ny = j + 2kp,
откуда
где есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:
(16)
т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
  В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:
k = 0, 1, 2, ..., (n-1)
(17)

  Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k1 и k = k2 тогда, когда аргументы и отличаются не кратным 2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p.
  Но разность (k1 - k2) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.
  Пусть теперь k2 - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:
k2 = qn + k1

где q - целое число и k1 - любое число из ряда (17), а потому
,
т.е. значению k2 соответствует то же значение корня, что и значению k1, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.
  Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

РЕКЛАМА