Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

Деление комплексных чисел

  Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, если ( r1 , j1 ) - модуль и аргумент делимого, а ( r2 , j2 ) - модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеет один определенный результат, если делитель отличен от нуля, и что модуль частного будет r1 / r2, а аргумент его j1 - j2 ). Обозначая частное в виде дроби, можем написать:
(9)
  Итак, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Если r2=0, то данная формула теряет смысл.
  Если делимое и делитель даны не в тригонометрической форме, а в виде a1 + b1i и a2 + b2i , то выражая в формуле (9) модули и аргументы через a1, a2, b1, b2, получим следующее выражение для частного:
,
которое можно получить и непосредственно, рассматривая i как иррациональность и умножая числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное со знаменателем, для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе:
,
и окончательно:
(10)

  Мы знаем, что переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и при сложении и при умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливыми все те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам. Сюда относятся, например: правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона в случае целого положительного показателя, формулы, относящиеся к прогрессиям, и т.д.
  Отметим еще одно важное свойство выражений, содержащих комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий. Из формул (4), (5), (7), (10) непосредственно вытекает следующее предложение: если в в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными.
  Так, например, заменяя в формуле (7)   b1 и b2 на ( -b1) и ( -b2) получим:
(a1 - b1i )(a2 - b2i ) = (a1a2 - b1b2) - (b1a2 + a1b2)i
  Указанное свойство будет, очевидно, справедливым и для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

РЕКЛАМА