Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

Умножение комплексных чисел

  Произведение двух комплексных чисел мы определяем аналогично произведению двух вещественных чисел, а именно: произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы. Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем r
и аргументом j, может быть получен из единичного вектора, длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, путем удлинения его в r раз и поворота в положительном направлении на угол j.
  Произведением некоторого вектора a1 на вектор a2 назовем вектор, который получится, если к вектору a1 применить вышеуказанное удлинение и поворот, при помощи которых вектор a2 получается из единичного вектора,причем последнему соответствует, очевидно, вещественная единица.
  Если ( r1 , j1 ), ( r2 , j2 ) суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторам a1 и a2, то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное числос модулем r1r2 и аргументом ( j1 + j2 ). Мы приходим таким образом, к следующему определению произведения комплексных чисел:
  Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент - сумме аргументов сомножителей.
  Таким образом, в том случае, когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь:
  Выведем теперь правило составления произведения для того случая, когда комплексные числа даны не в тригонометрической форме:
(a1 + b1i )(a2 + b2i ) = x + yi
 Пользуясь обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать:
a1 = r1cosj1;   b1 = r1sinj1;   a2 = r2cosj2;   b2 = r2sinj2;
согласно определению умножения:
x = r1r2cos(j1 + j2);       y = r1r2sin(j1 + j2),
откуда:
x = r1r2(cosj1cosj2 - sinj1sinj2) =
= r1cosj1r2cosj2 - r1sinj1r2sinj2 = a1a2 - b1b2

y = r1r2(sinj1cosj2 + cosj1sinj2) =
= r1sinj1r2cosj2 + r1cosj1r2sinj2 = b1a2 + a1b2
,
и окончательно получим:
  В случае b1 = b2 = 0 сомножители являются вещественными числами a1 и a2 и произведение приводится к произведению a1a2 этих чисел.
  В случае a1 = a2 = 0 и b1 = b2 = 1, равенство (7) дает:
i Ч i = i 2 = -1,
т.е. квадрат мнимой единицы равен (-1).
  Вычисляя последовательно целые положительные степени i, получим:
i 2 = -1;   i 3 = -i;   i 4 = 1;   i 5 = i;   i 6 = -1;   ...
и, вообще, при всяком положительном k:
i 4k = 1;   i 4k+1 = i;   i 4k+2 = -1;   i 4k+3 = -i
  Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так: комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i 2 = -1.
  Если a есть комплексное число a + bi, то комплексное число a - bi называют сопряженным с a, и его обозначают через .
  Согласно формулам (3):
|a|2 = a2 + b2 .
  Но из равенства (7) вытекает:
(a + bi )( a - bi ) = a2 + b2 ,
а, следовательно:
|a|2 = (a + bi )( a - bi ) = a ,
т.е. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них.
  Отметим еще очевидные формулы:
  Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону, т.е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение - от порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами:
(a1 + a2) + a3 = a1 + (a2 + a3);
(a1a2)a3 = a1(a2a3);
(a1 + a2)b = a1b + a2b
.
  Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю.

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

РЕКЛАМА