Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

Сложение и вычитание комплексных чисел

  Сумма векторов представляет собой замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:
Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон), ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел ak и сумма вещественных чисел bk
  Пользуясь определением сложения можно утверждать, что комплексное число a + bi, есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi, т.е. a + bi = (a + 0i ) + (0 + bi )
  Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т.е. разность
x + yi = (a1 + b1i ) - (a2 + b2i )
определяется из условия
(x + yi ) + (a2 + b2i ) = a1 + b1i
или, x + a2 = a1; y + b2 = b1, т.е. x = a1 - a2; y = b1 - b2, и окончательно получаем:
Вычитание комплексного числа (a2 + b2i ), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a1 + b1i ) и комплексного числа (-a2 - b2i ). Это соответствует следующему: вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, а по направлению ему противоположным.
  Рассмотрим вектор , начальной точке A2 которого соответствует комплексное число a2 + b2i и концу A1 - число a1 + b1i. Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов и и, следовательно ему соответствует комплексное число
(a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i,
равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу.
  Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим:
| a1 + a2 | ? | a1 | + | a2 | ,
причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы, соответствующие комлексным числам a1 и a2, имеют одинаковое направление, т.е. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2p. Доказанное свойство имеет, очевидно, место и в случае любого числа слагаемых:
| a1 + a2 + ... + an | ? | a1 | + | a2 | + ... + | an | ,
т.е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых, причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным 2p.
  Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того написать:
| a1 + a2 | ? | a1 | - | a2 | ,
т.е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противоположны.
  Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели выше, к сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь:
| a1 | - | a2 | ? | a1 - a2 | ? | a1 | + | a2 |

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

РЕКЛАМА