Пример.
Максимум, минимум функции, точки перегиба.

На главную страницу сайта Математика on-line.

   Исследуем функцию f(x) = e-x2
   Р е ш е н и е. Найдем f '(x) и f ''(x):
f '(x) = e-x2(-2x);
f ''(x) = e-x24x2-2e-x2 = 2e-x2(2x2 - 1)
   Приравняем первую производную к нулю:
e-x2(-2x) = 0
   Первый множитель e-x2 не может быть равен нулю ни при каком конечном значении x, следовательно, нулю равен второй множитель (-2x), т.е.
x = 0.
   Подставим это значение x - корень уравнения f '(x) = 0 - во вторую производную и определим ее знак:
при x = 0   f ''(x) = -2 < 0.
   При этом значении x данная функция имеет максимум:
f(0) = 1.
   Точка максимума будет A(0;1).    Найдем точки перегиба. Для этого приравняем вторую производную к нулю:
2e-x2(2x2 - 1) = 0
   Так как 2e-x2? 0, то
2x2 - 1 = 0,
откуда
   Проверим, будут ли точки с абсциссами ± точками перегиба.

   В самом деле, f ''(x) > 0 в интервале (-?, -), следовательно, кривая обращена выпуклостью вниз, f ''(x) < 0 в интервале (-), следовательно, кривая обращена выпуклостью вверх; f ''(x) > 0 в интервале (, +?), значит, кривая снова обращена выпуклостью вниз.
   Так как в точках с абсциссами - и + меняется характер изгиба кривой, то они являются точками перегиба; их ординаты равны:

   Таким образом, кривая имеет две точки перегиба:
 и .
   Из уравнения кривой видно, что в любой точке оси Ox
поэтому она целиком располагается над осью Ox.
   Так как e-x2 - четная функция, то кривая симметрична относительно оси Oy.
   Из уравнения кривой видно также, что при возрастании значений аргумента x по абсолютной величине значения функции y = f(x) убывают, причем если xR?, то f(x)R0.
   На рисунке дан примерный график этой функции, которая называется гауссовой кривой.


Rambler's Top100 Апорт Top 1000 be number one Allbest.ru