Пример.
Максимум, минимум функции, точки перегиба.

На главную страницу сайта Математика on-line.

   Найти максимум и минимум функции y = x3 - 3x2 - 9x +11 и точки перегиба ее графика.
   Р е ш е н и е. Найдем производные первого и второго порядков:
f '(x) = 3x2 - 6x -9 =3(x2 - 2x -3),
f ''(x) = 6x - 6
   Приравняем первую производную к нулю и найдем корни уравнения
x2 - 2x -3 = 0
   Получим
x1 = -1,   x2 = 3
   Подставив эти значения во вторую производную, будем иметь: f ''(-1) = -12 < 0,   f ''(3) = 12 > 0, следовательно при x = -1 данная функция имеет максимум, при x = 3 - минимум. Найдем ординату точки максимума:
f(-1) = - 1 - 3 + 9 + 11 = 16
   Таким образом A(-1; 16) - точка максимума.
   Найдем ординату точки минимума:
f(3) = -16
   Точка B(3; -16)
- точка минимума.
   Теперь найдем точки перегиба. Поскольку вторая производная f ''(x) = 6x - 6 непрерывна всюду на оси Ox, то точки перегиба могут быть только при тех значениях x, при которых f ''(x) = 0, то есть при x = 1, и вторая производная может изменить знак только при этом значении x.
   Определим знаки второй производной при x < 1 и при x > 1. Имеем, например f ''(0) = -6 и поэтому f ''(x) < 0 во всем интервале (-?, 1), следовательно в этом интервале кривая y = x3 - 3x2 - 9x +11 обращена выпуклостью вверх.    Имеем далее, f ''(2) = 6, и поэтому f ''(x) > 0 во всем интервале (1; +?), откуда следует, что кривая y = x3 - 3x2 - 9x +11 в этом интервале обращена выпуклостью вниз. Ордината этой точки будет y = 1. Итак, C(1; 0) - точка перегиба данной кривой.
   Чтобы найти точку пересечения этой кривой с осью Oy, положим x = 0; тогда получим y = 11. Таким образом, кривая пересекает ось Oy в точке D(0; 11).
   На рисунке дан примерный график рассмотренной функции.


Rambler's Top100 Апорт Top 1000 be number one Allbest.ru