Пример.
Поиск максимума и минимума функции 3.

На главную страницу сайта Математика on-line.

   Найти максимум и минимум функции
f(x)=12x5-15x4-20x3+30x2+1

   Р е ш е н и е: Находим первую и вторую производные.
f '(x)=60x4-60x3-60x2+60x=60x(x3-x2-x+1)
f ''(x)=240x3-180x2-120x+60=60(4x3-3x2-2x+1)
   Приравниваем первцю проихводную к нулю и решаем уравнение:
x(x3-x2-x+1)=0,
или
x(x2-1)(x-1)=0.
Корни этого уравнения будут
x1=0,  x2=-1,  x3=x4=1
   Подставляем эти значения аргумента x
поочередно во вторую производную и определяем ее знаки:
   1) f ''(0)=60 > 0, следовательно, при x1=0 функция достигает минимума:
f(0)=1;
   2) f ''(-1)=-240 < 0, следовательно, при x2= -1 функция достигает максимума:
f(-1)=24
   Для решения вопроса о том, существует ли максимум или минимум у функции при x3=x4=1, обратимся к первой производной и определим ее знаки при x=1-h и x=1+h, где h - правильная положительная дробь:
f '(1-h)=60(1-h)(2-h)h2>0,
f '(1+h)=60(1+h)(2+h)h2>0.
   Отсюда заключаем, что f(x) при x3=x4=1 не имеет ни максимума, ни минимума, так как f '(x), обращаясь при этом значении аргумента в нуль, не меняет знака.


Rambler's Top100 Апорт Top 1000 be number one Allbest.ru