Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

Точка перегиба графика функции.


   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок ).
Рисунок 1
   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок ).
   Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство
f(x) - y < 0   ( f(x) - y > 0)
где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 )
к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
   Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с x0, выполняется неравенство
f(x) - y < 0    (f(x) - y > 0),
то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).
   Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.
Рисунок 2.
   В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис. 2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a. Следовательно tgj > tga или f '(x1 ) > f '(x2 ).
   Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b):  f ''(x)?0.
Рисунок 3.
   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga > tgj т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.
   Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
   Запишем уравнение касательной
y - y0 = f '(x0 )(x - x0 )
к кривой y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде
y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).
   Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде
y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ).      (1)
   Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:
     (2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим:
     (3)
   Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]?0, где 0 < Q < 1, то имеем
f(x) - y ? 0
откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
   Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]?0, то имеем
f(x) - y ? 0
откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
   Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.
Рисунок 4.
   Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4).(В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
   Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует.
   Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h) - больше нуля.
   Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль:
f ''(x0 ) = 0.
Рисунок 5.
   На рис.5 изображен график функции . Хотя при x0 = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем
,   f '(0)=?
Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0   f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0   f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
   Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

   Теорема 2. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная.
   Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

РЕКЛАМА