Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Обобщенная теорема Ролля.


   Формула Тейлора. Пусть на интервале [a, b] функция f(x) дифференцируема n раз и выполняются следующие равенства:
f(a) = f(b) = f '(a) = f ''(a)= ... = f (n-1)(a)=0
Тогда внутри интервала [a, b] найдется хотя бы одно значение с, при котором
f (n)(c) = 0
   Доказательство. По теореме Ролля имеем
f '(x0 ) = 0,
где a < x0 < b. Тогда f '(x) на интервале [a, x0] удовлетворяет теореме Ролля, так как, по условию, f '(a) = 0 и f '(x0 ) = 0, а потому
f ''(x1 ) = 0,
где a < x1 < x0.
   Применяя теорему Ролля последовательно к функциям f ''(x), f '''(x), ..., f (n-1)(x), найдем наконец:
(n)(с) = 0,
где a < c < xn-1 < b . Теорема доказана.
   Выведем теперь формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
   Пусть функция f (x) дифференцируема n раз на интервале [a, b].
   Рассмотрим вспомогательную функцию
j(x) = f (x) - P (x),
где
   Продифференцируем n раз функцию j(x). Тогда будем иметь



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j(n-1)(x) = f(n-1)(x) - An-1 - An(x - a),
j(n)(x) = f(n)(x) - An
   Потребуем, чтобы функция j(x) удовлетворяла условиям обобщенной теоремы Ролля. Тогда будем иметь
     (1)
.
   Так как функция j(x) удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Ролля, то найдется такое значение с (a < c < b), что
j(n)(с) = f(n)(с) - An = 0     (2)
   Далее найдем из n первых уравнений системы (1) коэффициенты A0 , A1 , ..., An-1:
A0 = f(a), A1 = f'(a), A2 = f''(a), ..., An-1 = f(n-1)(a),
а из уравнения (2) коэффициент An: An = f(n)(c) и подставим их значения в последнее уравнение системы (1):
,
где 0 < Q < 1
   Заменяя b на x, получим формулу Тейлора:
формула Тейлора
где 0 < Q < 1
   Последнее слагаемое
остаточный член в форме Лагранжа
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
   При a = 0 получается так называемая формула Маклорена:
формула Маклорена
где 0 < Q < 1, а остаточный член записывается в виде

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

РЕКЛАМА