Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.


  Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
возрастающая функция
Рис.1 (а)
убывающая функция
Рис.1 (б)
  Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки.
  График возрастающей функции показан на рисунке 1(а).
  Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ? f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C
  Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если
f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
  Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки.
  График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
  Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2?  f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C.
неубывающая функция
Рис.2 (а)
невозрастающая функция
Рис.2 (б)
  Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
  Доказательство. Так как функция f (x) возрастает в интервале ( a, b ), то знаки у приращений Dx и Dy в любой точке этого интервала одинаковы. Следовательно отношение положительно, а потому и производная будет положительна или равна нулю в интервале ( a, b ),
так как отношение как положительная величина может стремиться или к положительному числу или к нулю (смотри рисунок 1(а)).
  Очевидно, теорема 1 имеет место и для неубывающей в интервале ( a, b ) функции (смотри рисунок 2(а)).
  Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.
  Доказательство. Так как функция f (x) убывает в интервале ( a, b ), то в любой точке этого интервала знаки у приращений Dx и Dy различны. Поэтому отношение имеет отрицательный знак, а следовательно и производная или имеет отрицательный знак, или обращается в нуль, так как соотношение , как отрицательная величина, может стремиться или к отрицательному числу или к нулю (смотри рисунок 1(б)).
  Очевидно, теорема 2 имеет место и для невозрастающей в интервале ( a, b ) функции (смотри рисунок 2(б)).
колеблющаяся функция
Рис. 3
  Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1 до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
  График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абциссы - критическими значениями аргумента x
  В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x0, больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x0 :
f (x0) > f (x0+Dx).

Рис.4 (а)

Рис.4 (б)
  На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству
f (x0)?f (x).
  Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто максимумом.
  Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
  Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .
  В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются от x1 :
f (x1) < f (x1+Dx).
  На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству
f (x0)?f (x).
  Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто минимумом.
  Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
  Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .
  По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x).
  Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x0 .
  Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или экстремального значения).
  Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.
  Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала.
функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов
Рис. 5
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.
  Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует.
  Доказательство. Пусть в точке x0 функция f (x) дифференцируема и достигает максимума (рисунок 3 и рисунок 4(а)). Это значит, что при достаточно малом h > 0 как f (x0 + h) ? f (x0), так и f (x0 - h) ? f (x0).
  Из этих неравенств следует, что
  Отсюда
а потому
и в то же время
  Следовательно f' (x) = 0.
  Аналогично доказывается первое утверждение теоремы 3 и в том случае, когда функция f (x) достигает в точке x0 минимума.
  Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
Рис. 6
  На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной [f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x R x0 и x < x0     f' (x) R +?, при x R x0 и x > x0     f' (x) R -?. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y = f (x).
  Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
  Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.
  Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

РЕКЛАМА