Математика on-line   

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

Правило Лопиталя.


   Теорема. Пусть функции f(x) и j(x) имеют в окрестности точки x0 непрерывные производные f '(x) и j'(x) и пусть f(x0) = j(x0) = 0 и j(x) ? 0, j'(x) ? 0 в окрестностях точки x0, кроме, быть может самой точки x0. Пусть далее существует предел . Тогда
   Доказательство. Зафиксируем близкое к x0 значение ? x0 и рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на интервале [x0 , x] ибо f(t) и j(t) дифференцируемы по условию и Ф(x0) = 0 (так как f(x0) = j(x0) = 0 и Ф(x) = 0.
   Поэтому между x и x0 найдется такая точка x, что Ф'(x) = 0, т.е. , откуда
     (1)
   Так как и при xRx0 также xRx0, то , и согласно равенству (1) находим:
   Теорема доказана.
   Если в окрестности точки x0 функции f(x) и j(x) имеют вторые производные, причем f '(x0) = j'(x0) = 0 и j'(x) ? 0, j''(x) ? 0, и существует , то, применяя правило Лопиталя к отношению , получаем
   Правило Лопиталя служит для раскрытия неопределенностей вида при вычислении пределов отношений .
   В курсах математического анализа показывается, что такое же правило применимо и к неопределенностям вида , ч-ч и других.

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

РЕКЛАМА