Математика on-line   
Большегрузные промышленные колеса Эксклюзивный поставщик из Турции.

Поиск по сайту

Rambler's Top100 AllBest.Ru

АЛГЕБРА

предмет алгебры :: формулы сокращенного умножения :: действия с корнями :: действия со степенями:: квадратные уравнения :: биквадратные уравнения 

Квадратные уравнения

  Уравнение вида
ax2+bx+c=0
(1)
где, a, b, c - действительные числа, причем a ? 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ? 1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
  Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле
(2)
  Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
  В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
  Используя обозначение D = b2- 4ac, можно переписать формулу (2) в виде
  Если b = 2k, то формула (2) принимает вид:
  Итак,
где k = b / 2.
  Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 - целое число, т.е. коэффициент b - четное число.
  Пример 1: Решить уравнение 2x2- 5x + 2 = 0.   Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b2- 4ac = (-5)2- 4*2*2 = 9. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)
  Итак x1=( 5 + 3 ) / 4 = 2,   x2=( 5 - 3 ) / 4 = 1 / 2,
то есть x1 = 2 и x2 = 1 / 2 - корни заданного уравнения.
  Пример 2: Решить уравнение 2x2- 3x + 5 = 0.   Здесь a = 2, b = -3, c = 5. Находим дискриминант D = b2- 4ac = (-3)2- 4*2*5 = -31. Так как D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

  Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
  Пример 1: решить уравнение 2x2 - 5x = 0.
  Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
  Пример 2: решить уравнение 3x2 - 27 = 0.
  Имеем 3x2 = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

  Теорема Виета.   Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть
x1 + x2 = -p ,
x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

предмет алгебры :: формулы сокращенного умножения :: действия с корнями :: действия со степенями:: квадратные уравнения :: биквадратные уравнения 

АЛГЕБРА

РЕКЛАМА